A projekt keretében a hallgató megismerkedhet a diszkrét és a folytonos matematika egy szép kombinációjával, a dinamikus hálózatok funkcionálanalitikus - ezen belül operátorfélcsoport-elméleti - megközelítésével. A hálózatokat egy véges (vagy megszámlálhatóan végtelen) sok csúccsal rendelkező gráffal modellezzük, amelynek éleit intervallumokkal azonosítjuk, így az éleken differenciálegyenleteket (pl. diffúzió, Schrödinger-egyenlet) írhatunk elő. A peremfeltételek a csúcsokban megadott megfelelő feltételek (pl. folytonosság, Kirchhoff-szabály) lesznek. Az irodalomban ezeket a modelleket gyakran metrikus ill. quantum gráfnak is nevezik.
A lineáris modellek nagyon szépen kezelhetők az ún. operátorfélcsoport-elmélet segítségével, ami alapvető funkcionálanalízisbeli ismeretek segítségével könnyen elsajátítható.
A hallgatónak - érdeklődése és felkészültsége függvényében - az lesz a feladata, hogy a megfelelő bevezető irodalmat tanulmányozza, majd ennek fényében a témához kapcsolódó konkrét feladatot kidolgozzon. Ilyen lehet például egy adott rendszer spektrumának, aszimptotikájának vizsgálata, vagy akár egy nemlineáris modell kezelése is.
Hivatkozások
- Klaus-Jochen Engel and Rainer Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations, volume 194 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, NewYork, 2000.
- Marjeta Kramar Fijavž, Delio Mugnolo, and Eszter Sikolya: Variational and semigroup methods for waves and diffusion in networks, Appl. Math. Optim., 55(2):219–240, 2007. arXiv
- Marjeta Kramar Fijavž, Aleksandra Puchalska: Semigroups for dynamical processes on metric graphs, Philos. Trans. Roy. Soc. A, 378(2185): 20190619, 16, 2020., arXiv
- Marjeta Kramar and Eszter Sikolya: Spectral properties and asymptotic periodicity of flows in networks, Math. Z., 249(1):139–162, 2005. link