Gehér Panna: Euklideszi Ramsey elmélet

Az általános Ramsey elmélet izgalmas részterülete az Euklideszi Ramsey elmélet. Itt tipikus esetben az euklideszi sík, vagy magasabb dimenziós tér pontjait színezzük és egyszínű pont konfigurációkat keresünk. A téma első és egyben leghíresebb problémája a 70 éve megoldatlan Hadwiger–Nelson probléma: legkevesebb hány színnel kell kiszínezni a sík pontjait, hogy ne legyen két egyszínű pont egységtávolságra. Jelenleg azt tudjuk, hogy 5 színre szükség van és 7 szín elég. Ennek a kérdésnek számtalan változatát, általánosítását vizsgátlák azóta, a szisztematikus vizsgálatokat Erdős és társainak 1973-as cikksorozata [1] [2] [3] indította el. 2018-ban új lendületet és figyelmet kapott a terület, amikor a fent említett Hadwiger–Nelson problémában Grey megjavította az alsó korlátot 4-ről 5-re [4].

Referenciák

1. P. Erdős, R.L. Graham, P. Montgomery, B.L. Rothschild, J.H. Spencer and E.G. Straus (1973) Euclidean Ramsey Theorems, J. Combin. Theory A14:341-363
2. P. Erdős, R.L. Graham, P. Montgomery, B.L. Rothschild, J.H. Spencer and E.G. Straus (1975) Euclidean Ramsey Theorems II., Colloq. Math. Soc. J. Bolyai vol. 10, „Infinite and Finite Sets": 529-557. North-Holland, Amsterdam.
3. P. Erdős, R.L. Graham, P. Montgomery, B.L. Rothschild, J.H. Spencer and E.G.Straus (1975) Euclidean Ramsey Theorems III., Colloq. Math. Soc. J. Bolyai vol. 10, „Infinite and Finite Sets": 559-583. North-Holland, Amsterdam.
4. A. de Grey: The Chromatic Number of the Plane Is at least 5, Geombinatorics, 28, 5–18, (2018)

Ebben a félévben elsősorban azt szeretnénk megvizsgálni, hogy Csizmadia és Tóth tétele, illetve konfigurációja hogyan általánosítható Minkowski terekre, különös tekintettel a síkbeli esetekre.

Azt is szeretnénk tisztázni, hogy az euklideszi esetben ismert Ramsey-halmaz fogalmát miként lehet Minkowski terekben jól definiálni. Ehhez először szeretném részletesebben áttekinteni a Ramsey-halmazok ismert tulajdonságait, illetve a témakör fontosabb kérdéseit.