Numerikus módszerek absztrakt differenciálegyenletekre
| Témavezető: | Csomós Petra |
| email: | petra.csomos@ttk.elte.hu |
Projekt leírás
A parciális differenciálegyenletek megfelelő (végtelen dimenziós) Banach-térbe képező ismeretlen függvény választásával absztrakt differenciálegyenlet alakjára hozhatók. Mivel az így kapott probléma alakilag közönséges differenciálegyenlet, az azokhoz kidolgozott numerikus módszerek – bizonyos megszorításokkal – az absztrakt problémákra is alkalmazhatók.
A projekt célja az alapvető numerikus módszereken túlmutató eljárások (operátorszeletelés, Magnus-integrátor, exponenciális integrátor) legalább egyikének megismerése, tulajdonságainak vizsgálata és alkalmazása egy alkalmasan megválasztott feladatcsoport esetén.
Ezen módszerek konvergenciája, stabilitása és pozitivitás-megőrzése hatékonyan vizsgálható a funkcionálanalízis keretein belül, az operátorfélcsoport-elmélet eredményeinek felhasználásával.
A projektben részt vevő hallgató a bevezető szakirodalom áttekintése után érdeklődésének megfelelően választhatja meg, hogy mely módszereket és mely tulajdonságokat kívánja vizsgálni. A hivatkozások között felsorolok három cikket, melyek hasonló eredményeket tartalmaznak, a projekt során azonban természetesen lehetőség van ennél kevesebb/egyszerűbb vizsgálatot is végezni.
Előfeltételek
- Közönséges differenciálegyenletek alapvető numerikus módszereinek (pl. Runge-Kutta) és azok főbb tulajdonságainak (konvergencia, konzisztencia, adaptív lépésköz) ismerete.
- Funkcionálanalízis alapjai
- Operátorfélcsoport-elmélet alapjai (opcionális, jegyzet feldolgozható)
Hivatkozások
- M. Hochbruck, A. Ostermann: Exponential integrators, Acta Numerica 19 (2010), 209–286.
https://doi.org/10.1017/S0962492910000048 - P. Csomós, D. Kunszenti-Kovács: A second-order Magnus-type integrator for evolution equations with delay, IMA J. Numer. Anal. 43 (2023), 2965–2997.
https://doi.org/10.1093/imanum/drac060 - P. Csomós, B. Farkas, B. Kovács: Error estimates for a splitting integrator for abstract semilinear boundary coupled systems, IMA J. Numer. Anal. 43 (2023), 3628–3655.
https://doi.org/10.1093/imanum/drac079